Selesaikan {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=45$$

$$y=-165$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+y=15$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-y+15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -y+15.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

Gantikan \frac{-y+15}{4} dengan x dalam persamaan lain, 19x+5y=30.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

Darabkan 19 kali \frac{-y+15}{4}.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

Tambahkan -\frac{19y}{4} pada 5y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

Tolak \frac{285}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-165$$

Gantikan -165 dengan y dalam x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

Darabkan -\frac{1}{4} kali -165.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

Tambahkan \frac{15}{4} pada \frac{165}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=45$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=45,y=-165$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=45,y=-165$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

Untuk menjadikan 4x dan 19x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 19 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

Permudahkan.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

Tolak 76x+20y=120 daripada 76x+19y=285 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

Tambahkan 76x pada -76x. Seubtan 76x dan -76x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$19y-20y=285-120$$

Tambahkan 19y pada -20y.

$$-y=285-120$$

Tambahkan 285 pada -120.

$$-y=165$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-165$$

Gantikan -165 dengan y dalam 19x+5y=30. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

Darabkan 5 kali -165.

$$19x-825=30$$

Tambahkan 825 pada kedua-dua belah persamaan.

$$19x=855$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$x=45$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=45,y=-165$$