Selesaikan {l}{4x+y=100}{2x+2y=56}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 100 } \\ { 2 x + 2 y = 56 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=24$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+y=100$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-y+100$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+100\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -y+100.

$$x=-\frac{1}{4}y+25$$

Gantikan -\frac{y}{4}+25 dengan x dalam persamaan lain, 2x+2y=56.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+25\right)+2y=56$$

Darabkan 2 kali -\frac{y}{4}+25.

$$-\frac{1}{2}y+50+2y=56$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada 2y.

$$\frac{3}{2}y+50=56$$

Tolak 50 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{2}y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=-\frac{1}{4}y+25. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{4}\times 4+25$$

Darabkan -\frac{1}{4} kali 4.

$$x=-1+25$$

Tambahkan 25 pada -1.

$$x=24$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=24,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-2}&-\frac{1}{4\times 2-2}\\-\frac{2}{4\times 2-2}&\frac{4}{4\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 100-\frac{1}{6}\times 56\\-\frac{1}{3}\times 100+\frac{2}{3}\times 56\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=24,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

Untuk menjadikan 4x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$2\times 4x+2y=2\times 100,4\times 2x+4\times 2y=4\times 56$$

Permudahkan.

$$8x+2y=200,8x+8y=224$$

Tolak 8x+8y=224 daripada 8x+2y=200 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x+2y-8y=200-224$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y-8y=200-224$$

Tambahkan 2y pada -8y.

$$-6y=200-224$$

Tambahkan 200 pada -224.

$$-6y=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 2x+2y=56. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+2\times 4=56$$

Darabkan 2 kali 4.

$$2x+8=56$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=24$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=24,y=4$$