Selesaikan {l}{4x+y=-7}{2x+6y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = - 7 } \\ { 2 x + 6 y = - 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{31}{22} = -1\frac{9}{22} \approx -1.409090909$$

$$y = -\frac{15}{11} = -1\frac{4}{11} \approx -1.363636364$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+y=-7$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-y-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-7\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -y-7.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}$$

Gantikan \frac{-y-7}{4} dengan x dalam persamaan lain, 2x+6y=-11.

$$2\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}\right)+6y=-11$$

Darabkan 2 kali \frac{-y-7}{4}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{7}{2}+6y=-11$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada 6y.

$$\frac{11}{2}y-\frac{7}{2}=-11$$

Tambahkan \frac{7}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{15}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{15}{11}$$

Gantikan -\frac{15}{11} dengan y dalam x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{15}{11}\right)-\frac{7}{4}$$

Darabkan -\frac{1}{4} dengan -\frac{15}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{15}{44}-\frac{7}{4}$$

Tambahkan -\frac{7}{4} pada \frac{15}{44} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{31}{22}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-2}&-\frac{1}{4\times 6-2}\\-\frac{2}{4\times 6-2}&\frac{4}{4\times 6-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{1}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\left(-7\right)-\frac{1}{22}\left(-11\right)\\-\frac{1}{11}\left(-7\right)+\frac{2}{11}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{31}{22}\\-\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+y=-7,2x+6y=-11$$

Untuk menjadikan 4x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$2\times 4x+2y=2\left(-7\right),4\times 2x+4\times 6y=4\left(-11\right)$$

Permudahkan.

$$8x+2y=-14,8x+24y=-44$$

Tolak 8x+24y=-44 daripada 8x+2y=-14 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x+2y-24y=-14+44$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y-24y=-14+44$$

Tambahkan 2y pada -24y.

$$-22y=-14+44$$

Tambahkan -14 pada 44.

$$-22y=30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -22.

$$y=-\frac{15}{11}$$

Gantikan -\frac{15}{11} dengan y dalam 2x+6y=-11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+6\left(-\frac{15}{11}\right)=-11$$

Darabkan 6 kali -\frac{15}{11}.

$$2x-\frac{90}{11}=-11$$

Tambahkan \frac{90}{11} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-\frac{31}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-\frac{31}{22}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{31}{22},y=-\frac{15}{11}$$