Selesaikan {l}{4x+9y=-21}{3x+4y=-13}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = - 21 } \\ { 3 x + 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+9y=-21$$

Tolak 9y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-9y-21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y-21\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -9y-21.

$$x=-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}$$

Gantikan \frac{-9y-21}{4} dengan x dalam persamaan lain, 3x+4y=-13.

$$3\left(-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}\right)+4y=-13$$

Darabkan 3 kali \frac{-9y-21}{4}.

$$-\frac{27}{4}y-\frac{63}{4}+4y=-13$$

Tambahkan -\frac{27y}{4} pada 4y.

$$-\frac{11}{4}y-\frac{63}{4}=-13$$

Tambahkan \frac{63}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{11}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{11}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{9}{4}\left(-1\right)-\frac{21}{4}$$

Darabkan -\frac{9}{4} kali -1.

$$x=\frac{9-21}{4}$$

Tambahkan -\frac{21}{4} pada \frac{9}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-9\times 3}&-\frac{9}{4\times 4-9\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-9\times 3}&\frac{4}{4\times 4-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}&\frac{9}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\left(-21\right)+\frac{9}{11}\left(-13\right)\\\frac{3}{11}\left(-21\right)-\frac{4}{11}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+9y=-21,3x+4y=-13$$

Untuk menjadikan 4x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$3\times 4x+3\times 9y=3\left(-21\right),4\times 3x+4\times 4y=4\left(-13\right)$$

Permudahkan.

$$12x+27y=-63,12x+16y=-52$$

Tolak 12x+16y=-52 daripada 12x+27y=-63 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+27y-16y=-63+52$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$27y-16y=-63+52$$

Tambahkan 27y pada -16y.

$$11y=-63+52$$

Tambahkan -63 pada 52.

$$11y=-11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 3x+4y=-13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+4\left(-1\right)=-13$$

Darabkan 4 kali -1.

$$3x-4=-13$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=-1$$