Selesaikan {l}{4x+9y=-16}{10x+6y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = - 16 } \\ { 10 x + 6 y = 26 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=-4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+9y=-16$$

Tolak 9y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-9y-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y-16\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -9y-16.

$$x=-\frac{9}{4}y-4$$

Gantikan -\frac{9y}{4}-4 dengan x dalam persamaan lain, 10x+6y=26.

$$10\left(-\frac{9}{4}y-4\right)+6y=26$$

Darabkan 10 kali -\frac{9y}{4}-4.

$$-\frac{45}{2}y-40+6y=26$$

Tambahkan -\frac{45y}{2} pada 6y.

$$-\frac{33}{2}y-40=26$$

Tambahkan 40 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{33}{2}y=66$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{33}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam x=-\frac{9}{4}y-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{9}{4}\left(-4\right)-4$$

Darabkan -\frac{9}{4} kali -4.

$$x=9-4$$

Tambahkan -4 pada 9.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-9\times 10}&-\frac{9}{4\times 6-9\times 10}\\-\frac{10}{4\times 6-9\times 10}&\frac{4}{4\times 6-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\\\frac{5}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\left(-16\right)+\frac{3}{22}\times 26\\\frac{5}{33}\left(-16\right)-\frac{2}{33}\times 26\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=-4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

Untuk menjadikan 4x dan 10x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 10 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$10\times 4x+10\times 9y=10\left(-16\right),4\times 10x+4\times 6y=4\times 26$$

Permudahkan.

$$40x+90y=-160,40x+24y=104$$

Tolak 40x+24y=104 daripada 40x+90y=-160 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$40x-40x+90y-24y=-160-104$$

Tambahkan 40x pada -40x. Seubtan 40x dan -40x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$90y-24y=-160-104$$

Tambahkan 90y pada -24y.

$$66y=-160-104$$

Tambahkan -160 pada -104.

$$66y=-264$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 66.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam 10x+6y=26. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$10x+6\left(-4\right)=26$$

Darabkan 6 kali -4.

$$10x-24=26$$

Tambahkan 24 pada kedua-dua belah persamaan.

$$10x=50$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-4$$