Selesaikan {l}{4x+7y=2}{5x+6y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 7 y = 2 } \\ { 5 x + 6 y = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{6}{11}\approx -0.545454545$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+7y=2$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-7y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-7y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -7y+2.

$$x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} dengan x dalam persamaan lain, 5x+6y=4.

$$5\left(-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}\right)+6y=4$$

Darabkan 5 kali -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{35}{4}y+\frac{5}{2}+6y=4$$

Tambahkan -\frac{35y}{4} pada 6y.

$$-\frac{11}{4}y+\frac{5}{2}=4$$

Tolak \frac{5}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{3}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{11}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{6}{11}$$

Gantikan -\frac{6}{11} dengan y dalam x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{7}{4}\left(-\frac{6}{11}\right)+\frac{1}{2}$$

Darabkan -\frac{7}{4} dengan -\frac{6}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{21}{22}+\frac{1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada \frac{21}{22} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{16}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{4\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{4\times 6-7\times 5}&\frac{4}{4\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}\times 2+\frac{7}{11}\times 4\\\frac{5}{11}\times 2-\frac{4}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

Untuk menjadikan 4x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$5\times 4x+5\times 7y=5\times 2,4\times 5x+4\times 6y=4\times 4$$

Permudahkan.

$$20x+35y=10,20x+24y=16$$

Tolak 20x+24y=16 daripada 20x+35y=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20x-20x+35y-24y=10-16$$

Tambahkan 20x pada -20x. Seubtan 20x dan -20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$35y-24y=10-16$$

Tambahkan 35y pada -24y.

$$11y=10-16$$

Tambahkan 10 pada -16.

$$11y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$y=-\frac{6}{11}$$

Gantikan -\frac{6}{11} dengan y dalam 5x+6y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+6\left(-\frac{6}{11}\right)=4$$

Darabkan 6 kali -\frac{6}{11}.

$$5x-\frac{36}{11}=4$$

Tambahkan \frac{36}{11} pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=\frac{80}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{16}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$