Selesaikan {l}{4x+63y=17}{7x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 63 y = 17 } \\ { 7 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{160}{449}\approx 0.356347439$$

$$y=\frac{111}{449}\approx 0.247216036$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+63y=17,7x-2y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+63y=17$$

Tolak 63y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-63y+17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-63y+17\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -63y+17.

$$x=-\frac{63}{4}y+\frac{17}{4}$$

Gantikan \frac{-63y+17}{4} dengan x dalam persamaan lain, 7x-2y=2.

$$7\left(-\frac{63}{4}y+\frac{17}{4}\right)-2y=2$$

Darabkan 7 kali \frac{-63y+17}{4}.

$$-\frac{441}{4}y+\frac{119}{4}-2y=2$$

Tambahkan -\frac{441y}{4} pada -2y.

$$-\frac{449}{4}y+\frac{119}{4}=2$$

Tolak \frac{119}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{449}{4}y=-\frac{111}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{449}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{111}{449}$$

Gantikan \frac{111}{449} dengan y dalam x=-\frac{63}{4}y+\frac{17}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{63}{4}\times \frac{111}{449}+\frac{17}{4}$$

Darabkan -\frac{63}{4} dengan \frac{111}{449} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{6993}{1796}+\frac{17}{4}$$

Tambahkan \frac{17}{4} pada -\frac{6993}{1796} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{160}{449}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{160}{449},y=\frac{111}{449}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+63y=17,7x-2y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&63\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&63\\7&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&63\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&63\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&63\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&63\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&63\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-63\times 7}&-\frac{63}{4\left(-2\right)-63\times 7}\\-\frac{7}{4\left(-2\right)-63\times 7}&\frac{4}{4\left(-2\right)-63\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{449}&\frac{63}{449}\\\frac{7}{449}&-\frac{4}{449}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{449}\times 17+\frac{63}{449}\times 2\\\frac{7}{449}\times 17-\frac{4}{449}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{160}{449}\\\frac{111}{449}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{160}{449},y=\frac{111}{449}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+63y=17,7x-2y=2$$

Untuk menjadikan 4x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$7\times 4x+7\times 63y=7\times 17,4\times 7x+4\left(-2\right)y=4\times 2$$

Permudahkan.

$$28x+441y=119,28x-8y=8$$

Tolak 28x-8y=8 daripada 28x+441y=119 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$28x-28x+441y+8y=119-8$$

Tambahkan 28x pada -28x. Seubtan 28x dan -28x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$441y+8y=119-8$$

Tambahkan 441y pada 8y.

$$449y=119-8$$

Tambahkan 119 pada -8.

$$449y=111$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 449.

$$y=\frac{111}{449}$$

Gantikan \frac{111}{449} dengan y dalam 7x-2y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x-2\times \frac{111}{449}=2$$

Darabkan -2 kali \frac{111}{449}.

$$7x-\frac{222}{449}=2$$

Tambahkan \frac{222}{449} pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=\frac{1120}{449}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{160}{449}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{160}{449},y=\frac{111}{449}$$