Selesaikan {l}{4x+6y=10}{2x+5y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 6 y = 10 } \\ { 2 x + 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+6y=10,2x+5y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+6y=10$$

Tolak 6y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-6y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-6y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -6y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{-3y+5}{2} dengan x dalam persamaan lain, 2x+5y=1.

$$2\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+5y=1$$

Darabkan 2 kali \frac{-3y+5}{2}.

$$-3y+5+5y=1$$

Tambahkan -3y pada 5y.

$$2y+5=1$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+\frac{5}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{2} kali -2.

$$x=3+\frac{5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada 3.

$$x=\frac{11}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{11}{2},y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+6y=10,2x+5y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&6\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-6\times 2}&-\frac{6}{4\times 5-6\times 2}\\-\frac{2}{4\times 5-6\times 2}&\frac{4}{4\times 5-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}\times 10-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{11}{2},y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+6y=10,2x+5y=1$$

Untuk menjadikan 4x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$2\times 4x+2\times 6y=2\times 10,4\times 2x+4\times 5y=4$$

Permudahkan.

$$8x+12y=20,8x+20y=4$$

Tolak 8x+20y=4 daripada 8x+12y=20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x+12y-20y=20-4$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12y-20y=20-4$$

Tambahkan 12y pada -20y.

$$-8y=20-4$$

Tambahkan 20 pada -4.

$$-8y=16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam 2x+5y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+5\left(-2\right)=1$$

Darabkan 5 kali -2.

$$2x-10=1$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{11}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{11}{2},y=-2$$