Selesaikan {l}{4x+5y=7}{3x-2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{59}{23} = 2\frac{13}{23} \approx 2.565217391$$

$$y=-\frac{15}{23}\approx -0.652173913$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+5y=7$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-5y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -5y+7.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

Gantikan \frac{-5y+7}{4} dengan x dalam persamaan lain, 3x-2y=9.

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)-2y=9$$

Darabkan 3 kali \frac{-5y+7}{4}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{21}{4}-2y=9$$

Tambahkan -\frac{15y}{4} pada -2y.

$$-\frac{23}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

Tolak \frac{21}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{23}{4}y=\frac{15}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{23}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{15}{23}$$

Gantikan -\frac{15}{23} dengan y dalam x=-\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{15}{23}\right)+\frac{7}{4}$$

Darabkan -\frac{5}{4} dengan -\frac{15}{23} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{75}{92}+\frac{7}{4}$$

Tambahkan \frac{7}{4} pada \frac{75}{92} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{59}{23}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{4\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{3}{23}&-\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 7+\frac{5}{23}\times 9\\\frac{3}{23}\times 7-\frac{4}{23}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{23}\\-\frac{15}{23}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+5y=7,3x-2y=9$$

Untuk menjadikan 4x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 7,4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\times 9$$

Permudahkan.

$$12x+15y=21,12x-8y=36$$

Tolak 12x-8y=36 daripada 12x+15y=21 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+15y+8y=21-36$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$15y+8y=21-36$$

Tambahkan 15y pada 8y.

$$23y=21-36$$

Tambahkan 21 pada -36.

$$23y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 23.

$$y=-\frac{15}{23}$$

Gantikan -\frac{15}{23} dengan y dalam 3x-2y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-2\left(-\frac{15}{23}\right)=9$$

Darabkan -2 kali -\frac{15}{23}.

$$3x+\frac{30}{23}=9$$

Tolak \frac{30}{23} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{177}{23}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{59}{23}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{59}{23},y=-\frac{15}{23}$$