Selesaikan {l}{4x+5y=6}{x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{27}{23} = 1\frac{4}{23} \approx 1.173913043$$

$$y=\frac{6}{23}\approx 0.260869565$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+5y=6$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-5y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -5y+6.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

Gantikan -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} dengan x dalam persamaan lain, x+7y=3.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}+7y=3$$

Tambahkan -\frac{5y}{4} pada 7y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{3}{2}=3$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{23}{4}y=\frac{3}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{23}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{6}{23}$$

Gantikan \frac{6}{23} dengan y dalam x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{6}{23}+\frac{3}{2}$$

Darabkan -\frac{5}{4} dengan \frac{6}{23} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{15}{46}+\frac{3}{2}$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada -\frac{15}{46} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{27}{23}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5}&-\frac{5}{4\times 7-5}\\-\frac{1}{4\times 7-5}&\frac{4}{4\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&-\frac{5}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 6-\frac{5}{23}\times 3\\-\frac{1}{23}\times 6+\frac{4}{23}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{23}\\\frac{6}{23}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+5y=6,x+7y=3$$

Untuk menjadikan 4x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$4x+5y=6,4x+4\times 7y=4\times 3$$

Permudahkan.

$$4x+5y=6,4x+28y=12$$

Tolak 4x+28y=12 daripada 4x+5y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+5y-28y=6-12$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5y-28y=6-12$$

Tambahkan 5y pada -28y.

$$-23y=6-12$$

Tambahkan 6 pada -12.

$$-23y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -23.

$$y=\frac{6}{23}$$

Gantikan \frac{6}{23} dengan y dalam x+7y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+7\times \frac{6}{23}=3$$

Darabkan 7 kali \frac{6}{23}.

$$x+\frac{42}{23}=3$$

Tolak \frac{42}{23} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{27}{23}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{27}{23},y=\frac{6}{23}$$