Selesaikan {l}{4x+5y=2}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 2 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+5y=2$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-5y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -5y+2.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{5y}{4}+\frac{1}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x+4y=1.

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}\right)+4y=1$$

Darabkan 3 kali -\frac{5y}{4}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{15}{4}y+\frac{3}{2}+4y=1$$

Tambahkan -\frac{15y}{4} pada 4y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{3}{2}=1$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Darabkan -\frac{5}{4} kali -2.

$$x=\frac{5+1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada \frac{5}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{4\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{4\times 4-5\times 3}&\frac{4}{4\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-5\\-3\times 2+4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+5y=2,3x+4y=1$$

Untuk menjadikan 4x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 2,4\times 3x+4\times 4y=4$$

Permudahkan.

$$12x+15y=6,12x+16y=4$$

Tolak 12x+16y=4 daripada 12x+15y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+15y-16y=6-4$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$15y-16y=6-4$$

Tambahkan 15y pada -16y.

$$-y=6-4$$

Tambahkan 6 pada -4.

$$-y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam 3x+4y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+4\left(-2\right)=1$$

Darabkan 4 kali -2.

$$3x-8=1$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-2$$