Selesaikan {l}{4x+5y=1}{5x-7y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+5y=1$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-5y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -5y+1.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

Gantikan \frac{-5y+1}{4} dengan x dalam persamaan lain, 5x-7y=1.

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

Darabkan 5 kali \frac{-5y+1}{4}.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

Tambahkan -\frac{25y}{4} pada -7y.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

Tolak \frac{5}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{53}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{1}{53}$$

Gantikan \frac{1}{53} dengan y dalam x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

Darabkan -\frac{5}{4} dengan \frac{1}{53} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

Tambahkan \frac{1}{4} pada -\frac{5}{212} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{12}{53}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

Untuk menjadikan 4x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

Permudahkan.

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

Tolak 20x-28y=4 daripada 20x+25y=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

Tambahkan 20x pada -20x. Seubtan 20x dan -20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$25y+28y=5-4$$

Tambahkan 25y pada 28y.

$$53y=5-4$$

Tambahkan 5 pada -4.

$$53y=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 53.

$$y=\frac{1}{53}$$

Gantikan \frac{1}{53} dengan y dalam 5x-7y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

Darabkan -7 kali \frac{1}{53}.

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

Tambahkan \frac{7}{53} pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=\frac{60}{53}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{12}{53}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$