Selesaikan {l}{4x+5y=0}{8x-15y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 0 } \\ { 8 x - 15 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+5y=0$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-5y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5\right)y$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -5y.

$$x=-\frac{5}{4}y$$

Gantikan -\frac{5y}{4} dengan x dalam persamaan lain, 8x-15y=-5.

$$8\left(-\frac{5}{4}\right)y-15y=-5$$

Darabkan 8 kali -\frac{5y}{4}.

$$-10y-15y=-5$$

Tambahkan -10y pada -15y.

$$-25y=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -25.

$$y=\frac{1}{5}$$

Gantikan \frac{1}{5} dengan y dalam x=-\frac{5}{4}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{5}$$

Darabkan -\frac{5}{4} dengan \frac{1}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4\left(-15\right)-5\times 8}&-\frac{5}{4\left(-15\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{4\left(-15\right)-5\times 8}&\frac{4}{4\left(-15\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{2}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-5\right)\\-\frac{1}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

Untuk menjadikan 4x dan 8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$8\times 4x+8\times 5y=0,4\times 8x+4\left(-15\right)y=4\left(-5\right)$$

Permudahkan.

$$32x+40y=0,32x-60y=-20$$

Tolak 32x-60y=-20 daripada 32x+40y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$32x-32x+40y+60y=20$$

Tambahkan 32x pada -32x. Seubtan 32x dan -32x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$40y+60y=20$$

Tambahkan 40y pada 60y.

$$100y=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 100.

$$y=\frac{1}{5}$$

Gantikan \frac{1}{5} dengan y dalam 8x-15y=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$8x-15\times \frac{1}{5}=-5$$

Darabkan -15 kali \frac{1}{5}.

$$8x-3=-5$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$