Selesaikan {l}{4x+5y=-14}{-9x-9y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 14 } \\ { - 9 x - 9 y = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=9$$

$$y=-10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+5y=-14$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-5y-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-14\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -5y-14.

$$x=-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Gantikan -\frac{5y}{4}-\frac{7}{2} dengan x dalam persamaan lain, -9x-9y=9.

$$-9\left(-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)-9y=9$$

Darabkan -9 kali -\frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{45}{4}y+\frac{63}{2}-9y=9$$

Tambahkan \frac{45y}{4} pada -9y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{63}{2}=9$$

Tolak \frac{63}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{9}{4}y=-\frac{45}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{9}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-10$$

Gantikan -10 dengan y dalam x=-\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-10\right)-\frac{7}{2}$$

Darabkan -\frac{5}{4} kali -10.

$$x=\frac{25-7}{2}$$

Tambahkan -\frac{7}{2} pada \frac{25}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=-10$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}&\frac{4}{4\left(-9\right)-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-\frac{5}{9}\\1&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-14\right)-\frac{5}{9}\times 9\\-14+\frac{4}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=9,y=-10$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+5y=-14,-9x-9y=9$$

Untuk menjadikan 4x dan -9x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-9\times 4x-9\times 5y=-9\left(-14\right),4\left(-9\right)x+4\left(-9\right)y=4\times 9$$

Permudahkan.

$$-36x-45y=126,-36x-36y=36$$

Tolak -36x-36y=36 daripada -36x-45y=126 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-36x+36x-45y+36y=126-36$$

Tambahkan -36x pada 36x. Seubtan -36x dan 36x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-45y+36y=126-36$$

Tambahkan -45y pada 36y.

$$-9y=126-36$$

Tambahkan 126 pada -36.

$$-9y=90$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$y=-10$$

Gantikan -10 dengan y dalam -9x-9y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-9x-9\left(-10\right)=9$$

Darabkan -9 kali -10.

$$-9x+90=9$$

Tolak 90 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-9x=-81$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=-10$$