Selesaikan {l}{4x+5y=-12}{5x-17=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = - 12 } \\ { 5 x - 17 = - 7 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{169}{3} = -56\frac{1}{3} \approx -56.333333333$$

$$y = \frac{128}{3} = 42\frac{2}{3} \approx 42.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 7y pada kedua-dua belah.

$$5x-17+7y=0$$

Tambahkan 17 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$5x+7y=17$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+5y=-12$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-5y-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y-12\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -5y-12.

$$x=-\frac{5}{4}y-3$$

Gantikan -\frac{5y}{4}-3 dengan x dalam persamaan lain, 5x+7y=17.

$$5\left(-\frac{5}{4}y-3\right)+7y=17$$

Darabkan 5 kali -\frac{5y}{4}-3.

$$-\frac{25}{4}y-15+7y=17$$

Tambahkan -\frac{25y}{4} pada 7y.

$$\frac{3}{4}y-15=17$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{4}y=32$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{128}{3}$$

Gantikan \frac{128}{3} dengan y dalam x=-\frac{5}{4}y-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{128}{3}-3$$

Darabkan -\frac{5}{4} dengan \frac{128}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{160}{3}-3$$

Tambahkan -3 pada -\frac{160}{3}.

$$x=-\frac{169}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 7y pada kedua-dua belah.

$$5x-17+7y=0$$

Tambahkan 17 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$5x+7y=17$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-5\times 5}&-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}\\-\frac{5}{4\times 7-5\times 5}&\frac{4}{4\times 7-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{5}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\left(-12\right)-\frac{5}{3}\times 17\\-\frac{5}{3}\left(-12\right)+\frac{4}{3}\times 17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{169}{3}\\\frac{128}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 7y pada kedua-dua belah.

$$5x-17+7y=0$$

Tambahkan 17 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$5x+7y=17$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+5y=-12,5x+7y=17$$

Untuk menjadikan 4x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$5\times 4x+5\times 5y=5\left(-12\right),4\times 5x+4\times 7y=4\times 17$$

Permudahkan.

$$20x+25y=-60,20x+28y=68$$

Tolak 20x+28y=68 daripada 20x+25y=-60 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20x-20x+25y-28y=-60-68$$

Tambahkan 20x pada -20x. Seubtan 20x dan -20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$25y-28y=-60-68$$

Tambahkan 25y pada -28y.

$$-3y=-60-68$$

Tambahkan -60 pada -68.

$$-3y=-128$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=\frac{128}{3}$$

Gantikan \frac{128}{3} dengan y dalam 5x+7y=17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+7\times \frac{128}{3}=17$$

Darabkan 7 kali \frac{128}{3}.

$$5x+\frac{896}{3}=17$$

Tolak \frac{896}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-\frac{845}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=-\frac{169}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{169}{3},y=\frac{128}{3}$$