Selesaikan {l}{4x+4y=280}{4x+1y=124}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=18$$

$$y=52$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+4y=280$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-4y+280$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-4y+280\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -4y+280.

$$x=-y+70$$

Gantikan -y+70 dengan x dalam persamaan lain, 4x+y=124.

$$4\left(-y+70\right)+y=124$$

Darabkan 4 kali -y+70.

$$-4y+280+y=124$$

Tambahkan -4y pada y.

$$-3y+280=124$$

Tolak 280 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=-156$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=52$$

Gantikan 52 dengan y dalam x=-y+70. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-52+70$$

Tambahkan 70 pada -52.

$$x=18$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=18,y=52$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-4\times 4}&-\frac{4}{4-4\times 4}\\-\frac{4}{4-4\times 4}&\frac{4}{4-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 280+\frac{1}{3}\times 124\\\frac{1}{3}\times 280-\frac{1}{3}\times 124\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\52\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=18,y=52$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

Tolak 4x+y=124 daripada 4x+4y=280 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+4y-y=280-124$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-y=280-124$$

Tambahkan 4y pada -y.

$$3y=280-124$$

Tambahkan 280 pada -124.

$$3y=156$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=52$$

Gantikan 52 dengan y dalam 4x+y=124. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+52=124$$

Tolak 52 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=72$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=18$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=18,y=52$$