Selesaikan {l}{4x+3y=6}{8x+5y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 6 } \\ { 8 x + 5 y = 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+3y=6,8x+5y=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+3y=6$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-3y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -3y+6.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}$$

Gantikan -\frac{3y}{4}+\frac{3}{2} dengan x dalam persamaan lain, 8x+5y=10.

$$8\left(-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}\right)+5y=10$$

Darabkan 8 kali -\frac{3y}{4}+\frac{3}{2}.

$$-6y+12+5y=10$$

Tambahkan -6y pada 5y.

$$-y+12=10$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{3}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{4} kali 2.

$$x=\frac{-3+3}{2}$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada -\frac{3}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+3y=6,8x+5y=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\8&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&3\\8&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\8&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\8&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 8}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 8}\\-\frac{8}{4\times 5-3\times 8}&\frac{4}{4\times 5-3\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}&\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\times 6+\frac{3}{4}\times 10\\2\times 6-10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+3y=6,8x+5y=10$$

Untuk menjadikan 4x dan 8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$8\times 4x+8\times 3y=8\times 6,4\times 8x+4\times 5y=4\times 10$$

Permudahkan.

$$32x+24y=48,32x+20y=40$$

Tolak 32x+20y=40 daripada 32x+24y=48 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$32x-32x+24y-20y=48-40$$

Tambahkan 32x pada -32x. Seubtan 32x dan -32x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$24y-20y=48-40$$

Tambahkan 24y pada -20y.

$$4y=48-40$$

Tambahkan 48 pada -40.

$$4y=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 8x+5y=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$8x+5\times 2=10$$

Darabkan 5 kali 2.

$$8x+10=10$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=2$$