Selesaikan {l}{4x+3y=18}{x+5y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 18 } \\ { x + 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{84}{17} = 4\frac{16}{17} \approx 4.941176471$$

$$y=-\frac{10}{17}\approx -0.588235294$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+3y=18$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-3y+18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+18\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -3y+18.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2}$$

Gantikan -\frac{3y}{4}+\frac{9}{2} dengan x dalam persamaan lain, x+5y=2.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2}+5y=2$$

Tambahkan -\frac{3y}{4} pada 5y.

$$\frac{17}{4}y+\frac{9}{2}=2$$

Tolak \frac{9}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{17}{4}y=-\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{17}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{10}{17}$$

Gantikan -\frac{10}{17} dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{10}{17}\right)+\frac{9}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{4} dengan -\frac{10}{17} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{15}{34}+\frac{9}{2}$$

Tambahkan \frac{9}{2} pada \frac{15}{34} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{84}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3}&-\frac{3}{4\times 5-3}\\-\frac{1}{4\times 5-3}&\frac{4}{4\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&-\frac{3}{17}\\-\frac{1}{17}&\frac{4}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 18-\frac{3}{17}\times 2\\-\frac{1}{17}\times 18+\frac{4}{17}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{84}{17}\\-\frac{10}{17}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

Untuk menjadikan 4x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$4x+3y=18,4x+4\times 5y=4\times 2$$

Permudahkan.

$$4x+3y=18,4x+20y=8$$

Tolak 4x+20y=8 daripada 4x+3y=18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+3y-20y=18-8$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y-20y=18-8$$

Tambahkan 3y pada -20y.

$$-17y=18-8$$

Tambahkan 18 pada -8.

$$-17y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -17.

$$y=-\frac{10}{17}$$

Gantikan -\frac{10}{17} dengan y dalam x+5y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+5\left(-\frac{10}{17}\right)=2$$

Darabkan 5 kali -\frac{10}{17}.

$$x-\frac{50}{17}=2$$

Tambahkan \frac{50}{17} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{84}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$