Selesaikan {l}{4x+3y=13}{3x+6y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 13 } \\ { 3 x + 6 y = 26 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+3y=13$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-3y+13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -3y+13.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}$$

Gantikan \frac{-3y+13}{4} dengan x dalam persamaan lain, 3x+6y=26.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}\right)+6y=26$$

Darabkan 3 kali \frac{-3y+13}{4}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{39}{4}+6y=26$$

Tambahkan -\frac{9y}{4} pada 6y.

$$\frac{15}{4}y+\frac{39}{4}=26$$

Tolak \frac{39}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{15}{4}y=\frac{65}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{15}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{13}{3}$$

Gantikan \frac{13}{3} dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{13}{3}+\frac{13}{4}$$

Darabkan -\frac{3}{4} dengan \frac{13}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{-13+13}{4}$$

Tambahkan \frac{13}{4} pada -\frac{13}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 6-3\times 3}&\frac{4}{4\times 6-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 13-\frac{1}{5}\times 26\\-\frac{1}{5}\times 13+\frac{4}{15}\times 26\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+3y=13,3x+6y=26$$

Untuk menjadikan 4x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 13,4\times 3x+4\times 6y=4\times 26$$

Permudahkan.

$$12x+9y=39,12x+24y=104$$

Tolak 12x+24y=104 daripada 12x+9y=39 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+9y-24y=39-104$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y-24y=39-104$$

Tambahkan 9y pada -24y.

$$-15y=39-104$$

Tambahkan 39 pada -104.

$$-15y=-65$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$y=\frac{13}{3}$$

Gantikan \frac{13}{3} dengan y dalam 3x+6y=26. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+6\times \frac{13}{3}=26$$

Darabkan 6 kali \frac{13}{3}.

$$3x+26=26$$

Tolak 26 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=\frac{13}{3}$$