Selesaikan {l}{4x+2y=18}{-3x-6y=27}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 18 } \\ { - 3 x - 6 y = 27 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=9$$

$$y=-9$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+2y=18$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-2y+18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+18\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -2y+18.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

Gantikan \frac{-y+9}{2} dengan x dalam persamaan lain, -3x-6y=27.

$$-3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)-6y=27$$

Darabkan -3 kali \frac{-y+9}{2}.

$$\frac{3}{2}y-\frac{27}{2}-6y=27$$

Tambahkan \frac{3y}{2} pada -6y.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{27}{2}=27$$

Tambahkan \frac{27}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{81}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{9}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-9$$

Gantikan -9 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{9}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -9.

$$x=\frac{9+9}{2}$$

Tambahkan \frac{9}{2} pada \frac{9}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=-9$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{6}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 18+\frac{1}{9}\times 27\\-\frac{1}{6}\times 18-\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=9,y=-9$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

Untuk menjadikan 4x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-3\times 4x-3\times 2y=-3\times 18,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 27$$

Permudahkan.

$$-12x-6y=-54,-12x-24y=108$$

Tolak -12x-24y=108 daripada -12x-6y=-54 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-12x+12x-6y+24y=-54-108$$

Tambahkan -12x pada 12x. Seubtan -12x dan 12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y+24y=-54-108$$

Tambahkan -6y pada 24y.

$$18y=-54-108$$

Tambahkan -54 pada -108.

$$18y=-162$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 18.

$$y=-9$$

Gantikan -9 dengan y dalam -3x-6y=27. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x-6\left(-9\right)=27$$

Darabkan -6 kali -9.

$$-3x+54=27$$

Tolak 54 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-27$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=-9$$