Selesaikan {l}{4x+2y=12}{7x+18y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 12 } \\ { 7 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{89}{29} = 3\frac{2}{29} \approx 3.068965517$$

$$y=-\frac{4}{29}\approx -0.137931034$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+2y=12$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-2y+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+12\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -2y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Gantikan -\frac{y}{2}+3 dengan x dalam persamaan lain, 7x+18y=19.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+18y=19$$

Darabkan 7 kali -\frac{y}{2}+3.

$$-\frac{7}{2}y+21+18y=19$$

Tambahkan -\frac{7y}{2} pada 18y.

$$\frac{29}{2}y+21=19$$

Tolak 21 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{29}{2}y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{29}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{4}{29}$$

Gantikan -\frac{4}{29} dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{29}\right)+3$$

Darabkan -\frac{1}{2} dengan -\frac{4}{29} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{2}{29}+3$$

Tambahkan 3 pada \frac{2}{29}.

$$x=\frac{89}{29}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{4\times 18-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 18-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 18-2\times 7}&\frac{4}{4\times 18-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}&-\frac{1}{29}\\-\frac{7}{58}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}\times 12-\frac{1}{29}\times 19\\-\frac{7}{58}\times 12+\frac{2}{29}\times 19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{89}{29}\\-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

Untuk menjadikan 4x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 12,4\times 7x+4\times 18y=4\times 19$$

Permudahkan.

$$28x+14y=84,28x+72y=76$$

Tolak 28x+72y=76 daripada 28x+14y=84 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$28x-28x+14y-72y=84-76$$

Tambahkan 28x pada -28x. Seubtan 28x dan -28x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$14y-72y=84-76$$

Tambahkan 14y pada -72y.

$$-58y=84-76$$

Tambahkan 84 pada -76.

$$-58y=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -58.

$$y=-\frac{4}{29}$$

Gantikan -\frac{4}{29} dengan y dalam 7x+18y=19. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x+18\left(-\frac{4}{29}\right)=19$$

Darabkan 18 kali -\frac{4}{29}.

$$7x-\frac{72}{29}=19$$

Tambahkan \frac{72}{29} pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=\frac{623}{29}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{89}{29}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$