Selesaikan {l}{4x+12y=-24}{-8x-20y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 12 y = - 24 } \\ { - 8 x - 20 y = 36 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+12y=-24,-8x-20y=36$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+12y=-24$$

Tolak 12y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-12y-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-12y-24\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -12y-24.

$$x=-3y-6$$

Gantikan -3y-6 dengan x dalam persamaan lain, -8x-20y=36.

$$-8\left(-3y-6\right)-20y=36$$

Darabkan -8 kali -3y-6.

$$24y+48-20y=36$$

Tambahkan 24y pada -20y.

$$4y+48=36$$

Tolak 48 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=-3y-6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3\left(-3\right)-6$$

Darabkan -3 kali -3.

$$x=9-6$$

Tambahkan -6 pada 9.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+12y=-24,-8x-20y=36$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&12\\-8&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}&-\frac{12}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}&\frac{4}{4\left(-20\right)-12\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\36\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\left(-24\right)-\frac{3}{4}\times 36\\\frac{1}{2}\left(-24\right)+\frac{1}{4}\times 36\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+12y=-24,-8x-20y=36$$

Untuk menjadikan 4x dan -8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-8\times 4x-8\times 12y=-8\left(-24\right),4\left(-8\right)x+4\left(-20\right)y=4\times 36$$

Permudahkan.

$$-32x-96y=192,-32x-80y=144$$

Tolak -32x-80y=144 daripada -32x-96y=192 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-32x+32x-96y+80y=192-144$$

Tambahkan -32x pada 32x. Seubtan -32x dan 32x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-96y+80y=192-144$$

Tambahkan -96y pada 80y.

$$-16y=192-144$$

Tambahkan 192 pada -144.

$$-16y=48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -16.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam -8x-20y=36. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-8x-20\left(-3\right)=36$$

Darabkan -20 kali -3.

$$-8x+60=36$$

Tolak 60 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-3$$