Selesaikan {l}{4h+k=7}{h+2k=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 h + k = 7 } \\ { h + 2 k = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk h, k

$$h=1$$

$$k=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4h+k=7,h+2k=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk h dengan mengasingkan h di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4h+k=7$$

Tolak k daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4h=-k+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$h=\frac{1}{4}\left(-k+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -k+7.

$$h=-\frac{1}{4}k+\frac{7}{4}$$

Gantikan \frac{-k+7}{4} dengan h dalam persamaan lain, h+2k=7.

$$-\frac{1}{4}k+\frac{7}{4}+2k=7$$

Tambahkan -\frac{k}{4} pada 2k.

$$\frac{7}{4}k+\frac{7}{4}=7$$

Tolak \frac{7}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{4}k=\frac{21}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$k=3$$

Gantikan 3 dengan k dalam h=-\frac{1}{4}k+\frac{7}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk h.

$$h=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{7}{4}$$

Darabkan -\frac{1}{4} kali 3.

$$h=\frac{-3+7}{4}$$

Tambahkan \frac{7}{4} pada -\frac{3}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$h=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$h=1,k=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4h+k=7,h+2k=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}h\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}h\\k\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}h\\k\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}h\\k\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}h\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-1}&-\frac{1}{4\times 2-1}\\-\frac{1}{4\times 2-1}&\frac{4}{4\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}h\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}h\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 7-\frac{1}{7}\times 7\\-\frac{1}{7}\times 7+\frac{4}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}h\\k\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks h dan k.

$$h=1,k=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4h+k=7,h+2k=7$$

Untuk menjadikan 4h dan h sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$4h+k=7,4h+4\times 2k=4\times 7$$

Permudahkan.

$$4h+k=7,4h+8k=28$$

Tolak 4h+8k=28 daripada 4h+k=7 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4h-4h+k-8k=7-28$$

Tambahkan 4h pada -4h. Seubtan 4h dan -4h saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$k-8k=7-28$$

Tambahkan k pada -8k.

$$-7k=7-28$$

Tambahkan 7 pada -28.

$$-7k=-21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$k=3$$

Gantikan 3 dengan k dalam h+2k=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk h.

$$h+2\times 3=7$$

Darabkan 2 kali 3.

$$h+6=7$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$h=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$h=1,k=3$$