Selesaikan {l}{4b+4c=-5}{4b+5c=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 b + 4 c = - 5 } \\ { 4 b + 5 c = - 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk b, c

$$b=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$c=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk b dengan mengasingkan b di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4b+4c=-5$$

Tolak 4c daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4b=-4c-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$b=\frac{1}{4}\left(-4c-5\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -4c-5.

$$b=-c-\frac{5}{4}$$

Gantikan -c-\frac{5}{4} dengan b dalam persamaan lain, 4b+5c=-6.

$$4\left(-c-\frac{5}{4}\right)+5c=-6$$

Darabkan 4 kali -c-\frac{5}{4}.

$$-4c-5+5c=-6$$

Tambahkan -4c pada 5c.

$$c-5=-6$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$c=-1$$

Gantikan -1 dengan c dalam b=-c-\frac{5}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk b.

$$b=-\left(-1\right)-\frac{5}{4}$$

Darabkan -1 kali -1.

$$b=1-\frac{5}{4}$$

Tambahkan -\frac{5}{4} pada 1.

$$b=-\frac{1}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-4\times 4}&-\frac{4}{4\times 5-4\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-4\times 4}&\frac{4}{4\times 5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\left(-5\right)-\left(-6\right)\\-\left(-5\right)-6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks b dan c.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4b+4c=-5,4b+5c=-6$$

Tolak 4b+5c=-6 daripada 4b+4c=-5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4b-4b+4c-5c=-5+6$$

Tambahkan 4b pada -4b. Seubtan 4b dan -4b saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4c-5c=-5+6$$

Tambahkan 4c pada -5c.

$$-c=-5+6$$

Tambahkan -5 pada 6.

$$-c=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$c=-1$$

Gantikan -1 dengan c dalam 4b+5c=-6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk b.

$$4b+5\left(-1\right)=-6$$

Darabkan 5 kali -1.

$$4b-5=-6$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4b=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$b=-\frac{1}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$b=-\frac{1}{4},c=-1$$