Selesaikan {l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a_1, d

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a_{1} dengan mengasingkan a_{1} di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4a_{1}+6d=3$$

Tolak 6d daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4a_{1}=-6d+3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -6d+3.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

Gantikan -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} dengan a_{1} dalam persamaan lain, 3a_{1}+21d=4.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

Darabkan 3 kali -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4}.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

Tambahkan -\frac{9d}{2} pada 21d.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

Tolak \frac{9}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{33}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$d=\frac{7}{66}$$

Gantikan \frac{7}{66} dengan d dalam a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a_{1}.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

Darabkan -\frac{3}{2} dengan \frac{7}{66} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

Tambahkan \frac{3}{4} pada -\frac{7}{44} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a_{1} dan d.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

Untuk menjadikan 4a_{1} dan 3a_{1} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

Permudahkan.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

Tolak 12a_{1}+84d=16 daripada 12a_{1}+18d=9 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

Tambahkan 12a_{1} pada -12a_{1}. Seubtan 12a_{1} dan -12a_{1} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$18d-84d=9-16$$

Tambahkan 18d pada -84d.

$$-66d=9-16$$

Tambahkan 9 pada -16.

$$-66d=-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -66.

$$d=\frac{7}{66}$$

Gantikan \frac{7}{66} dengan d dalam 3a_{1}+21d=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a_{1}.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

Darabkan 21 kali \frac{7}{66}.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

Tolak \frac{49}{22} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$