Selesaikan {l}{4a+5b=9}{2a-b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 b = 9 } \\ { 2 a - b = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3.142857143$$

$$b=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4a+5b=9$$

Tolak 5b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4a=-5b+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$a=\frac{1}{4}\left(-5b+9\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -5b+9.

$$a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}$$

Gantikan \frac{-5b+9}{4} dengan a dalam persamaan lain, 2a-b=7.

$$2\left(-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}\right)-b=7$$

Darabkan 2 kali \frac{-5b+9}{4}.

$$-\frac{5}{2}b+\frac{9}{2}-b=7$$

Tambahkan -\frac{5b}{2} pada -b.

$$-\frac{7}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

Tolak \frac{9}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{2}b=\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=-\frac{5}{7}$$

Gantikan -\frac{5}{7} dengan b dalam a=-\frac{5}{4}b+\frac{9}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{7}\right)+\frac{9}{4}$$

Darabkan -\frac{5}{4} dengan -\frac{5}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$a=\frac{25}{28}+\frac{9}{4}$$

Tambahkan \frac{9}{4} pada \frac{25}{28} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a=\frac{22}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-1\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 9+\frac{5}{14}\times 7\\\frac{1}{7}\times 9-\frac{2}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4a+5b=9,2a-b=7$$

Untuk menjadikan 4a dan 2a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$2\times 4a+2\times 5b=2\times 9,4\times 2a+4\left(-1\right)b=4\times 7$$

Permudahkan.

$$8a+10b=18,8a-4b=28$$

Tolak 8a-4b=28 daripada 8a+10b=18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8a-8a+10b+4b=18-28$$

Tambahkan 8a pada -8a. Seubtan 8a dan -8a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10b+4b=18-28$$

Tambahkan 10b pada 4b.

$$14b=18-28$$

Tambahkan 18 pada -28.

$$14b=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 14.

$$b=-\frac{5}{7}$$

Gantikan -\frac{5}{7} dengan b dalam 2a-b=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$2a-\left(-\frac{5}{7}\right)=7$$

Tolak \frac{5}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2a=\frac{44}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$a=\frac{22}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{22}{7},b=-\frac{5}{7}$$