Selesaikan {l}{4a+5b=-3}{4a+9b=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a + 5 b = - 3 } \\ { 4 a + 9 b = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=-2$$

$$b=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4a+5b=-3,4a+9b=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4a+5b=-3$$

Tolak 5b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4a=-5b-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$a=\frac{1}{4}\left(-5b-3\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -5b-3.

$$a=-\frac{5}{4}b-\frac{3}{4}$$

Gantikan \frac{-5b-3}{4} dengan a dalam persamaan lain, 4a+9b=1.

$$4\left(-\frac{5}{4}b-\frac{3}{4}\right)+9b=1$$

Darabkan 4 kali \frac{-5b-3}{4}.

$$-5b-3+9b=1$$

Tambahkan -5b pada 9b.

$$4b-3=1$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4b=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$b=1$$

Gantikan 1 dengan b dalam a=-\frac{5}{4}b-\frac{3}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=\frac{-5-3}{4}$$

Tambahkan -\frac{3}{4} pada -\frac{5}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-2,b=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4a+5b=-3,4a+9b=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&5\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4\times 9-5\times 4}&-\frac{5}{4\times 9-5\times 4}\\-\frac{4}{4\times 9-5\times 4}&\frac{4}{4\times 9-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{16}&-\frac{5}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{16}\left(-3\right)-\frac{5}{16}\\-\frac{1}{4}\left(-3\right)+\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=-2,b=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4a+5b=-3,4a+9b=1$$

Tolak 4a+9b=1 daripada 4a+5b=-3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4a-4a+5b-9b=-3-1$$

Tambahkan 4a pada -4a. Seubtan 4a dan -4a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5b-9b=-3-1$$

Tambahkan 5b pada -9b.

$$-4b=-3-1$$

Tambahkan -3 pada -1.

$$-4b=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$b=1$$

Gantikan 1 dengan b dalam 4a+9b=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$4a+9=1$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4a=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$a=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-2,b=1$$