Selesaikan {l}{4=3A-9D}{2=8A-8D}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 = 3 A - 9 D } \\ { 2 = 8 A - 8 D } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk A, D

$$A=-\frac{7}{24}\approx -0.291666667$$

$$D=-\frac{13}{24}\approx -0.541666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$3A-9D=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$8A-8D=2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk A dengan mengasingkan A di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3A-9D=4$$

Tambahkan 9D pada kedua-dua belah persamaan.

$$3A=9D+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$A=\frac{1}{3}\left(9D+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 9D+4.

$$A=3D+\frac{4}{3}$$

Gantikan 3D+\frac{4}{3} dengan A dalam persamaan lain, 8A-8D=2.

$$8\left(3D+\frac{4}{3}\right)-8D=2$$

Darabkan 8 kali 3D+\frac{4}{3}.

$$24D+\frac{32}{3}-8D=2$$

Tambahkan 24D pada -8D.

$$16D+\frac{32}{3}=2$$

Tolak \frac{32}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$16D=-\frac{26}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$D=-\frac{13}{24}$$

Gantikan -\frac{13}{24} dengan D dalam A=3D+\frac{4}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk A.

$$A=3\left(-\frac{13}{24}\right)+\frac{4}{3}$$

Darabkan 3 kali -\frac{13}{24}.

$$A=-\frac{13}{8}+\frac{4}{3}$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada -\frac{13}{8} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$A=-\frac{7}{24}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$3A-9D=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$8A-8D=2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-9\\8&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&-\frac{-9}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\\-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-9\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{3}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 4+\frac{3}{16}\times 2\\-\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}A\\D\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\\-\frac{13}{24}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks A dan D.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$3A-9D=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$8A-8D=2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3A-9D=4,8A-8D=2$$

Untuk menjadikan 3A dan 8A sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$8\times 3A+8\left(-9\right)D=8\times 4,3\times 8A+3\left(-8\right)D=3\times 2$$

Permudahkan.

$$24A-72D=32,24A-24D=6$$

Tolak 24A-24D=6 daripada 24A-72D=32 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$24A-24A-72D+24D=32-6$$

Tambahkan 24A pada -24A. Seubtan 24A dan -24A saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-72D+24D=32-6$$

Tambahkan -72D pada 24D.

$$-48D=32-6$$

Tambahkan 32 pada -6.

$$-48D=26$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -48.

$$D=-\frac{13}{24}$$

Gantikan -\frac{13}{24} dengan D dalam 8A-8D=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk A.

$$8A-8\left(-\frac{13}{24}\right)=2$$

Darabkan -8 kali -\frac{13}{24}.

$$8A+\frac{13}{3}=2$$

Tolak \frac{13}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8A=-\frac{7}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$A=-\frac{7}{24}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$A=-\frac{7}{24},D=-\frac{13}{24}$$