Selesaikan {l}{32x+277+5y=0}{-4x-54y+4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 32 x + 277 + 5 y = 0 } \\ { - 4 x - 54 y + 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{7489}{854} = -8\frac{657}{854} \approx -8.769320843$$

$$y=\frac{309}{427}\approx 0.723653396$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$32x+5y+277=0,-4x-54y+4=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$32x+5y+277=0$$

Tolak 277 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$32x+5y=-277$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$32x=-5y-277$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 32.

$$x=\frac{1}{32}\left(-5y-277\right)$$

Darabkan \frac{1}{32} kali -5y-277.

$$x=-\frac{5}{32}y-\frac{277}{32}$$

Gantikan \frac{-5y-277}{32} dengan x dalam persamaan lain, -4x-54y+4=0.

$$-4\left(-\frac{5}{32}y-\frac{277}{32}\right)-54y+4=0$$

Darabkan -4 kali \frac{-5y-277}{32}.

$$\frac{5}{8}y+\frac{277}{8}-54y+4=0$$

Tambahkan \frac{5y}{8} pada -54y.

$$-\frac{427}{8}y+\frac{277}{8}+4=0$$

Tambahkan \frac{277}{8} pada 4.

$$-\frac{427}{8}y+\frac{309}{8}=0$$

Tolak \frac{309}{8} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{427}{8}y=-\frac{309}{8}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{427}{8} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{309}{427}$$

Gantikan \frac{309}{427} dengan y dalam x=-\frac{5}{32}y-\frac{277}{32}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{32}\times \frac{309}{427}-\frac{277}{32}$$

Darabkan -\frac{5}{32} dengan \frac{309}{427} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{1545}{13664}-\frac{277}{32}$$

Tambahkan -\frac{277}{32} pada -\frac{1545}{13664} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{7489}{854}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{7489}{854},y=\frac{309}{427}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$32x+5y+277=0,-4x-54y+4=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&5\\-4&-54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{54}{32\left(-54\right)-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{32\left(-54\right)-5\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{32\left(-54\right)-5\left(-4\right)}&\frac{32}{32\left(-54\right)-5\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{854}&\frac{5}{1708}\\-\frac{1}{427}&-\frac{8}{427}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-277\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{854}\left(-277\right)+\frac{5}{1708}\left(-4\right)\\-\frac{1}{427}\left(-277\right)-\frac{8}{427}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7489}{854}\\\frac{309}{427}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{7489}{854},y=\frac{309}{427}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$32x+5y+277=0,-4x-54y+4=0$$

Untuk menjadikan 32x dan -4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 32.

$$-4\times 32x-4\times 5y-4\times 277=0,32\left(-4\right)x+32\left(-54\right)y+32\times 4=0$$

Permudahkan.

$$-128x-20y-1108=0,-128x-1728y+128=0$$

Tolak -128x-1728y+128=0 daripada -128x-20y-1108=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-128x+128x-20y+1728y-1108-128=0$$

Tambahkan -128x pada 128x. Seubtan -128x dan 128x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-20y+1728y-1108-128=0$$

Tambahkan -20y pada 1728y.

$$1708y-1108-128=0$$

Tambahkan -1108 pada -128.

$$1708y-1236=0$$

Tambahkan 1236 pada kedua-dua belah persamaan.

$$1708y=1236$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 1708.

$$y=\frac{309}{427}$$

Gantikan \frac{309}{427} dengan y dalam -4x-54y+4=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-4x-54\times \frac{309}{427}+4=0$$

Darabkan -54 kali \frac{309}{427}.

$$-4x-\frac{16686}{427}+4=0$$

Tambahkan -\frac{16686}{427} pada 4.

$$-4x-\frac{14978}{427}=0$$

Tambahkan \frac{14978}{427} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=\frac{14978}{427}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=-\frac{7489}{854}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{7489}{854},y=\frac{309}{427}$$