Selesaikan {l}{3y-6=x}{x-9=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 6 = x } \\ { x - 9 = 2 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=39$$

$$y=15$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$3y-6-x=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$3y-x=6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-9-2y=0$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$x-2y=9$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3y-x=6$$

Tambahkan x pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=x+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(x+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali x+6.

$$y=\frac{1}{3}x+2$$

Gantikan \frac{x}{3}+2 dengan y dalam persamaan lain, -2y+x=9.

$$-2\left(\frac{1}{3}x+2\right)+x=9$$

Darabkan -2 kali \frac{x}{3}+2.

$$-\frac{2}{3}x-4+x=9$$

Tambahkan -\frac{2x}{3} pada x.

$$\frac{1}{3}x-4=9$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{3}x=13$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=39$$

Gantikan 39 dengan x dalam y=\frac{1}{3}x+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{1}{3}\times 39+2$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 39.

$$y=13+2$$

Tambahkan 2 pada 13.

$$y=15$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=15,x=39$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$3y-6-x=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$3y-x=6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-9-2y=0$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$x-2y=9$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+9\\2\times 6+3\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\39\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=15,x=39$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$3y-6-x=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$3y-x=6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-9-2y=0$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$x-2y=9$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

Untuk menjadikan 3y dan -2y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-2\times 3y-2\left(-1\right)x=-2\times 6,3\left(-2\right)y+3x=3\times 9$$

Permudahkan.

$$-6y+2x=-12,-6y+3x=27$$

Tolak -6y+3x=27 daripada -6y+2x=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-6y+6y+2x-3x=-12-27$$

Tambahkan -6y pada 6y. Seubtan -6y dan 6y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x-3x=-12-27$$

Tambahkan 2x pada -3x.

$$-x=-12-27$$

Tambahkan -12 pada -27.

$$-x=-39$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=39$$

Gantikan 39 dengan x dalam -2y+x=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-2y+39=9$$

Tolak 39 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=15$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=15,x=39$$