Selesaikan {l}{3y=6x-3}{2x=7-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y = 6 x - 3 } \\ { 2 x = 7 - y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=2$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$3y-6x=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$2x+y=7$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3y-6x=-3$$

Tambahkan 6x pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=6x-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(6x-3\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 6x-3.

$$y=2x-1$$

Gantikan 2x-1 dengan y dalam persamaan lain, y+2x=7.

$$2x-1+2x=7$$

Tambahkan 2x pada 2x.

$$4x-1=7$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y=2x-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=2\times 2-1$$

Darabkan 2 kali 2.

$$y=4-1$$

Tambahkan -1 pada 4.

$$y=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=3,x=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$3y-6x=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$2x+y=7$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{3\times 2-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-6\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-3\right)+\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{1}{12}\left(-3\right)+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=3,x=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$3y-6x=-3$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$2x+y=7$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3y-6x=-3,y+2x=7$$

Untuk menjadikan 3y dan y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3y-6x=-3,3y+3\times 2x=3\times 7$$

Permudahkan.

$$3y-6x=-3,3y+6x=21$$

Tolak 3y+6x=21 daripada 3y-6x=-3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3y-3y-6x-6x=-3-21$$

Tambahkan 3y pada -3y. Seubtan 3y dan -3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6x-6x=-3-21$$

Tambahkan -6x pada -6x.

$$-12x=-3-21$$

Tambahkan -3 pada -21.

$$-12x=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -12.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y+2x=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y+2\times 2=7$$

Darabkan 2 kali 2.

$$y+4=7$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=3,x=2$$