Selesaikan {l}{3y+x=31}{2y+3x=44}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=10$$

$$y=7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3y+x=31$$

Tolak x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=-x+31$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -x+31.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

Gantikan \frac{-x+31}{3} dengan y dalam persamaan lain, 2y+3x=44.

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

Darabkan 2 kali \frac{-x+31}{3}.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

Tambahkan -\frac{2x}{3} pada 3x.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

Tolak \frac{62}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=10$$

Gantikan 10 dengan x dalam y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali 10.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

Tambahkan \frac{31}{3} pada -\frac{10}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=7,x=10$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=7,x=10$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

Untuk menjadikan 3y dan 2y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

Permudahkan.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

Tolak 6y+9x=132 daripada 6y+2x=62 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

Tambahkan 6y pada -6y. Seubtan 6y dan -6y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x-9x=62-132$$

Tambahkan 2x pada -9x.

$$-7x=62-132$$

Tambahkan 62 pada -132.

$$-7x=-70$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=10$$

Gantikan 10 dengan x dalam 2y+3x=44. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2y+3\times 10=44$$

Darabkan 3 kali 10.

$$2y+30=44$$

Tolak 30 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=7,x=10$$