Selesaikan {l}{3y+2x=75}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + 2 x = 75 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=75$$

$$y=-25$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3y+2x=75$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=-2x+75$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(-2x+75\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2x+75.

$$y=-\frac{2}{3}x+25$$

Gantikan -\frac{2x}{3}+25 dengan y dalam persamaan lain, y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+25+x=50$$

Tambahkan -\frac{2x}{3} pada x.

$$\frac{1}{3}x+25=50$$

Tolak 25 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{3}x=25$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=75$$

Gantikan 75 dengan x dalam y=-\frac{2}{3}x+25. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{2}{3}\times 75+25$$

Darabkan -\frac{2}{3} kali 75.

$$y=-50+25$$

Tambahkan 25 pada -50.

$$y=-25$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-25,x=75$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2}&-\frac{2}{3-2}\\-\frac{1}{3-2}&\frac{3}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}75\\50\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}75-2\times 50\\-75+3\times 50\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\75\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-25,x=75$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3y+2x=75,y+x=50$$

Untuk menjadikan 3y dan y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3y+2x=75,3y+3x=3\times 50$$

Permudahkan.

$$3y+2x=75,3y+3x=150$$

Tolak 3y+3x=150 daripada 3y+2x=75 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3y-3y+2x-3x=75-150$$

Tambahkan 3y pada -3y. Seubtan 3y dan -3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x-3x=75-150$$

Tambahkan 2x pada -3x.

$$-x=75-150$$

Tambahkan 75 pada -150.

$$-x=-75$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=75$$

Gantikan 75 dengan x dalam y+x=50. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y+75=50$$

Tolak 75 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-25$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-25,x=75$$