Selesaikan {l}{3x-y-2=0}{2x+y-8=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y - 2 = 0 } \\ { 2 x + y - 8 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-y-2=0$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x-y=2$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali y+2.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Gantikan \frac{2+y}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x+y-8=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)+y-8=0$$

Darabkan 2 kali \frac{2+y}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}+y-8=0$$

Tambahkan \frac{2y}{3} pada y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-8=0$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada -8.

$$\frac{5}{3}y-\frac{20}{3}=0$$

Tambahkan \frac{20}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{3}y=\frac{20}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{2}{3}$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 4.

$$x=\frac{4+2}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada \frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{2}{5}\times 2+\frac{3}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-y-2=0,2x+y-8=0$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y+2\left(-2\right)=0,3\times 2x+3y+3\left(-8\right)=0$$

Permudahkan.

$$6x-2y-4=0,6x+3y-24=0$$

Tolak 6x+3y-24=0 daripada 6x-2y-4=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-2y-3y-4+24=0$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-3y-4+24=0$$

Tambahkan -2y pada -3y.

$$-5y-4+24=0$$

Tambahkan -4 pada 24.

$$-5y+20=0$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5y=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 2x+y-8=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+4-8=0$$

Tambahkan 4 pada -8.

$$2x-4=0$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=4$$