Selesaikan {l}{3x-y=8}{x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = 8 } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

$$y = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-y=8,x+y=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-y=8$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=y+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali y+8.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

Gantikan \frac{8+y}{3} dengan x dalam persamaan lain, x+y=10.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}+y=10$$

Tambahkan \frac{y}{3} pada y.

$$\frac{4}{3}y+\frac{8}{3}=10$$

Tolak \frac{8}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{4}{3}y=\frac{22}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{4}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{11}{2}$$

Gantikan \frac{11}{2} dengan y dalam x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{11}{2}+\frac{8}{3}$$

Darabkan \frac{1}{3} dengan \frac{11}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{11}{6}+\frac{8}{3}$$

Tambahkan \frac{8}{3} pada \frac{11}{6} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{9}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{9}{2},y=\frac{11}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-y=8,x+y=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{4}\times 10\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{3}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2}\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{9}{2},y=\frac{11}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-y=8,x+y=10$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x-y=8,3x+3y=3\times 10$$

Permudahkan.

$$3x-y=8,3x+3y=30$$

Tolak 3x+3y=30 daripada 3x-y=8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x-y-3y=8-30$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-y-3y=8-30$$

Tambahkan -y pada -3y.

$$-4y=8-30$$

Tambahkan 8 pada -30.

$$-4y=-22$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=\frac{11}{2}$$

Gantikan \frac{11}{2} dengan y dalam x+y=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+\frac{11}{2}=10$$

Tolak \frac{11}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{9}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{9}{2},y=\frac{11}{2}$$