Selesaikan {l}{3x-y+2=0}{5x-2y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y + 2 = 0 } \\ { 5 x - 2 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=-7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-y+2=0$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x-y=-2$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Gantikan \frac{-2+y}{3} dengan x dalam persamaan lain, 5x-2y+1=0.

$$5\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-2y+1=0$$

Darabkan 5 kali \frac{-2+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{3}-2y+1=0$$

Tambahkan \frac{5y}{3} pada -2y.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}+1=0$$

Tambahkan -\frac{10}{3} pada 1.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{7}{3}=0$$

Tambahkan \frac{7}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-7$$

Gantikan -7 dengan y dalam x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7\right)-\frac{2}{3}$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -7.

$$x=\frac{-7-2}{3}$$

Tambahkan -\frac{2}{3} pada -\frac{7}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=-7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\left(-2\right)-\left(-1\right)\\5\left(-2\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=-7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-y+2=0,5x-2y+1=0$$

Untuk menjadikan 3x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y+5\times 2=0,3\times 5x+3\left(-2\right)y+3=0$$

Permudahkan.

$$15x-5y+10=0,15x-6y+3=0$$

Tolak 15x-6y+3=0 daripada 15x-5y+10=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x-5y+6y+10-3=0$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-5y+6y+10-3=0$$

Tambahkan -5y pada 6y.

$$y+10-3=0$$

Tambahkan 10 pada -3.

$$y+7=0$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-7$$

Gantikan -7 dengan y dalam 5x-2y+1=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-2\left(-7\right)+1=0$$

Darabkan -2 kali -7.

$$5x+14+1=0$$

Tambahkan 14 pada 1.

$$5x+15=0$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=-7$$