Selesaikan {l}{3x-5y=-6}{2x-3y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 6 } \\ { 2 x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-7$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-5y=-6$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=5y-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-6\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 5y-6.

$$x=\frac{5}{3}y-2$$

Gantikan \frac{5y}{3}-2 dengan x dalam persamaan lain, 2x-3y=-5.

$$2\left(\frac{5}{3}y-2\right)-3y=-5$$

Darabkan 2 kali \frac{5y}{3}-2.

$$\frac{10}{3}y-4-3y=-5$$

Tambahkan \frac{10y}{3} pada -3y.

$$\frac{1}{3}y-4=-5$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=\frac{5}{3}y-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{3}\left(-3\right)-2$$

Darabkan \frac{5}{3} kali -3.

$$x=-5-2$$

Tambahkan -2 pada -5.

$$x=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-7,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-6\right)+5\left(-5\right)\\-2\left(-6\right)+3\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-7,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-6\right),3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\left(-5\right)$$

Permudahkan.

$$6x-10y=-12,6x-9y=-15$$

Tolak 6x-9y=-15 daripada 6x-10y=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-10y+9y=-12+15$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-10y+9y=-12+15$$

Tambahkan -10y pada 9y.

$$-y=-12+15$$

Tambahkan -12 pada 15.

$$-y=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam 2x-3y=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-3\left(-3\right)=-5$$

Darabkan -3 kali -3.

$$2x+9=-5$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-7,y=-3$$