Selesaikan {l}{3x-4y=16}{2x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 16 } \\ { 2 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=8$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-4y=16$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=4y+16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+16\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 16+4y.

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}$$

Gantikan \frac{16+4y}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x-3y=10.

$$2\left(\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\right)-3y=10$$

Darabkan 2 kali \frac{16+4y}{3}.

$$\frac{8}{3}y+\frac{32}{3}-3y=10$$

Tambahkan \frac{8y}{3} pada -3y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{32}{3}=10$$

Tolak \frac{32}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{4}{3}\times 2+\frac{16}{3}$$

Darabkan \frac{4}{3} kali 2.

$$x=\frac{8+16}{3}$$

Tambahkan \frac{16}{3} pada \frac{8}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16-4\times 10\\2\times 16-3\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=8,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-4y=16,2x-3y=10$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\times 16,3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 10$$

Permudahkan.

$$6x-8y=32,6x-9y=30$$

Tolak 6x-9y=30 daripada 6x-8y=32 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-8y+9y=32-30$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y+9y=32-30$$

Tambahkan -8y pada 9y.

$$y=32-30$$

Tambahkan 32 pada -30.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 2x-3y=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-3\times 2=10$$

Darabkan -3 kali 2.

$$2x-6=10$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=2$$