Selesaikan {l}{3x-4y=12}{y=-3x-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 12 } \\ { y = - 3 x - 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=-3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-4y=12$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=4y+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+12\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 12+4y.

$$x=\frac{4}{3}y+4$$

Gantikan 4+\frac{4y}{3} dengan x dalam persamaan lain, 3x+y=-3.

$$3\left(\frac{4}{3}y+4\right)+y=-3$$

Darabkan 3 kali 4+\frac{4y}{3}.

$$4y+12+y=-3$$

Tambahkan 4y pada y.

$$5y+12=-3$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=\frac{4}{3}y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{4}{3}\left(-3\right)+4$$

Darabkan \frac{4}{3} kali -3.

$$x=-4+4$$

Tambahkan 4 pada -4.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=-3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 12+\frac{4}{15}\left(-3\right)\\-\frac{1}{5}\times 12+\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3x pada kedua-dua belah.

$$y+3x=-3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

Tolak 3x+y=-3 daripada 3x-4y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x-4y-y=12+3$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y-y=12+3$$

Tambahkan -4y pada -y.

$$-5y=12+3$$

Tambahkan 12 pada 3.

$$-5y=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam 3x+y=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-3=-3$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-3$$