Selesaikan {l}{3x-4y=-6}{2x+4y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = - 6 } \\ { 2 x + 4 y = 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-4y=-6,2x+4y=16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-4y=-6$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=4y-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-6\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 4y-6.

$$x=\frac{4}{3}y-2$$

Gantikan \frac{4y}{3}-2 dengan x dalam persamaan lain, 2x+4y=16.

$$2\left(\frac{4}{3}y-2\right)+4y=16$$

Darabkan 2 kali \frac{4y}{3}-2.

$$\frac{8}{3}y-4+4y=16$$

Tambahkan \frac{8y}{3} pada 4y.

$$\frac{20}{3}y-4=16$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{20}{3}y=20$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{20}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=\frac{4}{3}y-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{4}{3}\times 3-2$$

Darabkan \frac{4}{3} kali 3.

$$x=4-2$$

Tambahkan -2 pada 4.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-4y=-6,2x+4y=16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{5}\times 16\\-\frac{1}{10}\left(-6\right)+\frac{3}{20}\times 16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-4y=-6,2x+4y=16$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\left(-6\right),3\times 2x+3\times 4y=3\times 16$$

Permudahkan.

$$6x-8y=-12,6x+12y=48$$

Tolak 6x+12y=48 daripada 6x-8y=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-8y-12y=-12-48$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y-12y=-12-48$$

Tambahkan -8y pada -12y.

$$-20y=-12-48$$

Tambahkan -12 pada -48.

$$-20y=-60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -20.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 2x+4y=16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+4\times 3=16$$

Darabkan 4 kali 3.

$$2x+12=16$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$