Selesaikan {l}{3x-3y=2}{4x+7y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = 2 } \\ { 4 x + 7 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{5}{33}\approx 0.151515152$$

$$y=-\frac{17}{33}\approx -0.515151515$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-3y=2$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=3y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 3y+2.

$$x=y+\frac{2}{3}$$

Gantikan y+\frac{2}{3} dengan x dalam persamaan lain, 4x+7y=-3.

$$4\left(y+\frac{2}{3}\right)+7y=-3$$

Darabkan 4 kali y+\frac{2}{3}.

$$4y+\frac{8}{3}+7y=-3$$

Tambahkan 4y pada 7y.

$$11y+\frac{8}{3}=-3$$

Tolak \frac{8}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$11y=-\frac{17}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$y=-\frac{17}{33}$$

Gantikan -\frac{17}{33} dengan y dalam x=y+\frac{2}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{17}{33}+\frac{2}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada -\frac{17}{33} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{5}{33}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}&\frac{1}{11}\\-\frac{4}{33}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\\-\frac{4}{33}\times 2+\frac{1}{11}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{33}\\-\frac{17}{33}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-3y=2,4x+7y=-3$$

Untuk menjadikan 3x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\times 2,3\times 4x+3\times 7y=3\left(-3\right)$$

Permudahkan.

$$12x-12y=8,12x+21y=-9$$

Tolak 12x+21y=-9 daripada 12x-12y=8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x-12y-21y=8+9$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y-21y=8+9$$

Tambahkan -12y pada -21y.

$$-33y=8+9$$

Tambahkan 8 pada 9.

$$-33y=17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -33.

$$y=-\frac{17}{33}$$

Gantikan -\frac{17}{33} dengan y dalam 4x+7y=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+7\left(-\frac{17}{33}\right)=-3$$

Darabkan 7 kali -\frac{17}{33}.

$$4x-\frac{119}{33}=-3$$

Tambahkan \frac{119}{33} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{20}{33}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{5}{33}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{5}{33},y=-\frac{17}{33}$$