Selesaikan {l}{3x-2y=6}{x/3-y/6=1/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 6 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 6 } = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,6,2.

$$2x-y=3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-2y=6$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=2y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 6+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

Gantikan \frac{2y}{3}+2 dengan x dalam persamaan lain, 2x-y=3.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)-y=3$$

Darabkan 2 kali \frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4-y=3$$

Tambahkan \frac{4y}{3} pada -y.

$$\frac{1}{3}y+4=3$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=\frac{2}{3}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{3}\left(-3\right)+2$$

Darabkan \frac{2}{3} kali -3.

$$x=-2+2$$

Tambahkan 2 pada -2.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,6,2.

$$2x-y=3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6+2\times 3\\-2\times 6+3\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,6,2.

$$2x-y=3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 3$$

Permudahkan.

$$6x-4y=12,6x-3y=9$$

Tolak 6x-3y=9 daripada 6x-4y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-4y+3y=12-9$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y+3y=12-9$$

Tambahkan -4y pada 3y.

$$-y=12-9$$

Tambahkan 12 pada -9.

$$-y=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam 2x-y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-\left(-3\right)=3$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-3$$