Selesaikan {l}{3x-2y=5}{-5-x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 5 - x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y = \frac{47}{4} = 11\frac{3}{4} = 11.75$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-2y=5$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=2y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 2y+5.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Gantikan \frac{2y+5}{3} dengan x dalam persamaan lain, -x+2y-5=9.

$$-\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y-5=9$$

Darabkan -1 kali \frac{2y+5}{3}.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}+2y-5=9$$

Tambahkan -\frac{2y}{3} pada 2y.

$$\frac{4}{3}y-\frac{5}{3}-5=9$$

Tambahkan -\frac{5}{3} pada -5.

$$\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}=9$$

Tambahkan \frac{20}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{4}{3}y=\frac{47}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{4}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{47}{4}$$

Gantikan \frac{47}{4} dengan y dalam x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{47}{4}+\frac{5}{3}$$

Darabkan \frac{2}{3} dengan \frac{47}{4} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{47}{6}+\frac{5}{3}$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada \frac{47}{6} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{19}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{47}{4}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-2y=5,-x+2y-5=9$$

Untuk menjadikan 3x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-3x-\left(-2y\right)=-5,3\left(-1\right)x+3\times 2y+3\left(-5\right)=3\times 9$$

Permudahkan.

$$-3x+2y=-5,-3x+6y-15=27$$

Tolak -3x+6y-15=27 daripada -3x+2y=-5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3x+3x+2y-6y+15=-5-27$$

Tambahkan -3x pada 3x. Seubtan -3x dan 3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y-6y+15=-5-27$$

Tambahkan 2y pada -6y.

$$-4y+15=-5-27$$

Tambahkan -5 pada -27.

$$-4y+15=-32$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4y=-47$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=\frac{47}{4}$$

Gantikan \frac{47}{4} dengan y dalam -x+2y-5=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+2\times \frac{47}{4}-5=9$$

Darabkan 2 kali \frac{47}{4}.

$$-x+\frac{47}{2}-5=9$$

Tambahkan \frac{47}{2} pada -5.

$$-x+\frac{37}{2}=9$$

Tolak \frac{37}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-\frac{19}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=\frac{19}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{19}{2},y=\frac{47}{4}$$