Selesaikan {l}{3x-2y=20}{5x+8y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 20 } \\ { 5 x + 8 y = 22 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=6$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-2y=20,5x+8y=22$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-2y=20$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=2y+20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+20\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 20+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}$$

Gantikan \frac{20+2y}{3} dengan x dalam persamaan lain, 5x+8y=22.

$$5\left(\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}\right)+8y=22$$

Darabkan 5 kali \frac{20+2y}{3}.

$$\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}+8y=22$$

Tambahkan \frac{10y}{3} pada 8y.

$$\frac{34}{3}y+\frac{100}{3}=22$$

Tolak \frac{100}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{34}{3}y=-\frac{34}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{34}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{20}{3}$$

Darabkan \frac{2}{3} kali -1.

$$x=\frac{-2+20}{3}$$

Tambahkan \frac{20}{3} pada -\frac{2}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-2y=20,5x+8y=22$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\\-\frac{5}{34}&\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\22\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 20+\frac{1}{17}\times 22\\-\frac{5}{34}\times 20+\frac{3}{34}\times 22\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=6,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-2y=20,5x+8y=22$$

Untuk menjadikan 3x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 20,3\times 5x+3\times 8y=3\times 22$$

Permudahkan.

$$15x-10y=100,15x+24y=66$$

Tolak 15x+24y=66 daripada 15x-10y=100 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x-10y-24y=100-66$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-10y-24y=100-66$$

Tambahkan -10y pada -24y.

$$-34y=100-66$$

Tambahkan 100 pada -66.

$$-34y=34$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -34.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 5x+8y=22. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+8\left(-1\right)=22$$

Darabkan 8 kali -1.

$$5x-8=22$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=-1$$