Selesaikan {l}{3x-2y=0}{4x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 0 } \\ { 4 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{10}{11}\approx 0.909090909$$

$$y = \frac{15}{11} = 1\frac{4}{11} \approx 1.363636364$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-2y=0,4x+y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-2y=0$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=2y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\times 2y$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 2y.

$$x=\frac{2}{3}y$$

Gantikan \frac{2y}{3} dengan x dalam persamaan lain, 4x+y=5.

$$4\times \frac{2}{3}y+y=5$$

Darabkan 4 kali \frac{2y}{3}.

$$\frac{8}{3}y+y=5$$

Tambahkan \frac{8y}{3} pada y.

$$\frac{11}{3}y=5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{15}{11}$$

Gantikan \frac{15}{11} dengan y dalam x=\frac{2}{3}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{15}{11}$$

Darabkan \frac{2}{3} dengan \frac{15}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{10}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{15}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-2y=0,4x+y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{4}{11}&\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 5\\\frac{3}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}\\\frac{15}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{15}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-2y=0,4x+y=5$$

Untuk menjadikan 3x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y=0,3\times 4x+3y=3\times 5$$

Permudahkan.

$$12x-8y=0,12x+3y=15$$

Tolak 12x+3y=15 daripada 12x-8y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x-8y-3y=-15$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y-3y=-15$$

Tambahkan -8y pada -3y.

$$-11y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=\frac{15}{11}$$

Gantikan \frac{15}{11} dengan y dalam 4x+y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+\frac{15}{11}=5$$

Tolak \frac{15}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{40}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{10}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{10}{11},y=\frac{15}{11}$$