Selesaikan {l}{3x-2y+3=0}{4x+3y-47=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 3 y - 47 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-2y+3=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x-2y=-3$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=2y-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-3\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 2y-3.

$$x=\frac{2}{3}y-1$$

Gantikan \frac{2y}{3}-1 dengan x dalam persamaan lain, 4x+3y-47=0.

$$4\left(\frac{2}{3}y-1\right)+3y-47=0$$

Darabkan 4 kali \frac{2y}{3}-1.

$$\frac{8}{3}y-4+3y-47=0$$

Tambahkan \frac{8y}{3} pada 3y.

$$\frac{17}{3}y-4-47=0$$

Tambahkan -4 pada -47.

$$\frac{17}{3}y-51=0$$

Tambahkan 51 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{17}{3}y=51$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{17}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=9$$

Gantikan 9 dengan y dalam x=\frac{2}{3}y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{3}\times 9-1$$

Darabkan \frac{2}{3} kali 9.

$$x=6-1$$

Tambahkan -1 pada 6.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=9$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{2}{17}\times 47\\-\frac{4}{17}\left(-3\right)+\frac{3}{17}\times 47\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=9$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-2y+3=0,4x+3y-47=0$$

Untuk menjadikan 3x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y+4\times 3=0,3\times 4x+3\times 3y+3\left(-47\right)=0$$

Permudahkan.

$$12x-8y+12=0,12x+9y-141=0$$

Tolak 12x+9y-141=0 daripada 12x-8y+12=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x-8y-9y+12+141=0$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8y-9y+12+141=0$$

Tambahkan -8y pada -9y.

$$-17y+12+141=0$$

Tambahkan 12 pada 141.

$$-17y+153=0$$

Tolak 153 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-17y=-153$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -17.

$$y=9$$

Gantikan 9 dengan y dalam 4x+3y-47=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+3\times 9-47=0$$

Darabkan 3 kali 9.

$$4x+27-47=0$$

Tambahkan 27 pada -47.

$$4x-20=0$$

Tambahkan 20 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=9$$