Selesaikan {l}{3x=y+5}{5x-y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x = y + 5 } \\ { 5 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$3x-y=5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-y=5,5x-y=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-y=5$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali y+5.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Gantikan \frac{5+y}{3} dengan x dalam persamaan lain, 5x-y=11.

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)-y=11$$

Darabkan 5 kali \frac{5+y}{3}.

$$\frac{5}{3}y+\frac{25}{3}-y=11$$

Tambahkan \frac{5y}{3} pada -y.

$$\frac{2}{3}y+\frac{25}{3}=11$$

Tolak \frac{25}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{2}{3}y=\frac{8}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{2}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 4.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada \frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$3x-y=5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-y=5,5x-y=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 11\\-\frac{5}{2}\times 5+\frac{3}{2}\times 11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$3x-y=5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-y=5,5x-y=11$$

Tolak 5x-y=11 daripada 3x-y=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-5x-y+y=5-11$$

Tambahkan -y pada y. Seubtan -y dan y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3x-5x=5-11$$

Tambahkan 3x pada -5x.

$$-2x=5-11$$

Tambahkan 5 pada -11.

$$-2x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=3$$

Gantikan 3 dengan x dalam 5x-y=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$5\times 3-y=11$$

Darabkan 5 kali 3.

$$15-y=11$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=4$$