Selesaikan {l}{3x+y=5}{4x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 4 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=5,4x-y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=5$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Gantikan \frac{-y+5}{3} dengan x dalam persamaan lain, 4x-y=2.

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)-y=2$$

Darabkan 4 kali \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{20}{3}-y=2$$

Tambahkan -\frac{4y}{3} pada -y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{20}{3}=2$$

Tolak \frac{20}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{14}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times 2+\frac{5}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali 2.

$$x=\frac{-2+5}{3}$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada -\frac{2}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=5,4x-y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-4}&\frac{3}{3\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5+\frac{1}{7}\times 2\\\frac{4}{7}\times 5-\frac{3}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=5,4x-y=2$$

Untuk menjadikan 3x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$4\times 3x+4y=4\times 5,3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 2$$

Permudahkan.

$$12x+4y=20,12x-3y=6$$

Tolak 12x-3y=6 daripada 12x+4y=20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+4y+3y=20-6$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y+3y=20-6$$

Tambahkan 4y pada 3y.

$$7y=20-6$$

Tambahkan 20 pada -6.

$$7y=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 4x-y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-2=2$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$