Selesaikan {l}{3x+y=4}{6x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 4 } \\ { 6 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=4,6x+y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=4$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y+4.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}$$

Gantikan \frac{-y+4}{3} dengan x dalam persamaan lain, 6x+y=4.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}\right)+y=4$$

Darabkan 6 kali \frac{-y+4}{3}.

$$-2y+8+y=4$$

Tambahkan -2y pada y.

$$-y+8=4$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times 4+\frac{4}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali 4.

$$x=\frac{-4+4}{3}$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada -\frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=4,6x+y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-6}&-\frac{1}{3-6}\\-\frac{6}{3-6}&\frac{3}{3-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 4\\2\times 4-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=4,6x+y=4$$

Tolak 6x+y=4 daripada 3x+y=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-6x+y-y=4-4$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3x-6x=4-4$$

Tambahkan 3x pada -6x.

$$-3x=4-4$$

Tambahkan 4 pada -4.

$$-3x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=0$$

Gantikan 0 dengan x dalam 6x+y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=4$$