Selesaikan {l}{3x+y=10}{4x-y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 10 } \\ { 4 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=10,4x-y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=10$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y+10.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

Gantikan \frac{-y+10}{3} dengan x dalam persamaan lain, 4x-y=4.

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y=4$$

Darabkan 4 kali \frac{-y+10}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{40}{3}-y=4$$

Tambahkan -\frac{4y}{3} pada -y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{40}{3}=4$$

Tolak \frac{40}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{28}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times 4+\frac{10}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali 4.

$$x=\frac{-4+10}{3}$$

Tambahkan \frac{10}{3} pada -\frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=10,4x-y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-4}&\frac{3}{3\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 4\\\frac{4}{7}\times 10-\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=10,4x-y=4$$

Untuk menjadikan 3x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$4\times 3x+4y=4\times 10,3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 4$$

Permudahkan.

$$12x+4y=40,12x-3y=12$$

Tolak 12x-3y=12 daripada 12x+4y=40 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+4y+3y=40-12$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y+3y=40-12$$

Tambahkan 4y pada 3y.

$$7y=40-12$$

Tambahkan 40 pada -12.

$$7y=28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 4x-y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-4=4$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=4$$